01背包、完全背包、多重背包问题

01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

二维dp

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1020;
int dp[N][N];
int v[N],w[N];
int n,m;

int main()
{
    cin>>n>>m;
 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<< dp[n][m];
}

一维dp

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1020;
int dp[N];
int v[N],w[N];
int n,m;

int main()
{
    cin>>n>>m;
 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<< dp[m];
}

完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

二维dp

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1030;
int n,m;
int dp[N][N],v[N],w[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[n][m];
}

一维dp

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1030;
int n,m;
int dp[N],v[N],w[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[m];
}

多重背包问题I

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005],n,m,v,w,s;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    while (n -- )
    {
        cin>>v>>w>>s;
        for(int i=1;i<=s;i++)
        {
            for(int j=m;j>=v;j--)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w);
            }
        }
    }
    cout<<dp[m];
}

Q.E.D.