spfa

适用范围:存在负权边求最短路

给定一个 n 个点 m 条边的有向图,图中可能存在重边和自环, 边权可能为负数。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离,如果无法从 1 号点走到 n 号点,则输出 impossible。

数据保证不存在负权回路。

输入格式
第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z,表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边,边长为 z。

输出格式
输出一个整数,表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在,则输出 impossible。

数据范围
1≤n,m≤10^5,
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例:
3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4
输出样例:
2

邻接矩阵

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int N = 1e4;
int a[N][N], d[N];
int n, m;
bool v[N];
queue<int> q;

int spfa()
{
    memset(d, 0x3f3f3f3f, sizeof(d));
    d[1] = 0;
    q.push(1);
    while (!q.empty())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (a[t][i] && d[i] > d[t] + a[t][i])
            {
                d[i] = d[t] + a[t][i];
                q.push(i);
            }
    }
    if (d[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return d[n];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    while (m--)
    {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        a[x][y] = z;
    }

    if (spfa() == -1) cout << "impossible" << endl;
    else cout << spfa() << endl;
}

邻接表

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int N = 100100,M=100100;
int  d[N];
int n, m;
bool v[N];
queue<int> q;
int head[N],to[M],w[M],nxt[M],idx=0;  //head大小为点数,其他的大小为边数

void add(int a,int b,int c)
{
    to[idx]=b;
    w[idx]=c;
    nxt[idx]=head[a];
    head[a]=idx++;
}

int spfa()
{
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[1] = 0;
    q.push(1);
    v[1]=true;
    while (!q.empty())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        v[t]=false;
        for(int i=head[t];i!=-1;i=nxt[i])
        {
            int j=to[i];
            if(d[j]>d[t]+w[i])
            {
                d[j]=d[t]+w[i];
                if(!v[j])
                {
                    q.push(j);
                    v[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    if (d[n] > 0x3f3f3f3f/2) return -1;
    return d[n];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    memset(head,-1,sizeof(head));
    
    while (m -- )
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        add(x,y,z);
    }

    if (spfa() == -1) cout << "impossible" << endl;
    else cout << spfa() << endl;
}

Floyd

适用条件:求多源最短路,即求任意两个点之间的最短路问题


给定一个 n 个点 m 条边的有向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。

再给定 k 个询问,每个询问包含两个整数 x 和 y,表示查询从点 x 到点 y 的最短距离,如果路径不存在,则输出 impossible。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式
第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m 行,每行包含三个整数 x,y,z,表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边,边长为 z。

接下来 k 行,每行包含两个整数 x,y,表示询问点 x 到点 y 的最短距离。

输出格式
共 k 行,每行输出一个整数,表示询问的结果,若询问两点间不存在路径,则输出 impossible。

数据范围
1≤n≤200,
1≤k≤n2
1≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例:
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
输出样例:
impossible
1

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 300;
int a[N][N];
int n,m,k;

int floyd()
{
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                a[i][j]=min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i==j) a[i][j]=0;
            else a[i][j]=0x3f3f3f3f;
        }
    }
    
    while (m -- )
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        a[x][y]=min(a[x][y],z);
    }
    
    floyd();
    
    while(k--)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        if(a[x][y]>0x3f3f3f3f/2) cout<<"impossible"<<endl;
        else cout<<a[x][y]<<endl;
    }
}

Q.E.D.